05 带步长的卷积（Strided Convolutions）

05 带步长的卷积（Strided Convolutions）

一、基本概念回顾

在标准卷积中，我们使用一个 滤波器（filter） （也称卷积核）在输入图像上滑动，逐点进行逐元素相乘再求和，生成输出特征图（feature map）。

• 输入图像尺寸：$n \times n$
• 滤波器尺寸：$f \times f$
• Padding（填充）：$p$
• Stride（步长）：$s$

💡 注意：在深度学习中，所谓的“卷积”实际上是指互相关（cross-correlation） ，即不翻转滤波器。尽管数学或信号处理中“卷积”包含翻转操作，但深度学习惯例省略此步骤，仍称其为“卷积”。

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二、带步长的卷积（Strided Convolution）

1. 步长（Stride）定义

• 步长 $s$ 表示滤波器每次滑动的像素数。
• 当 $s = 1$：标准卷积，逐像素滑动。
• 当 $s = 2$：每次跳过 1 个像素，滑动 2 个位置。

2. 输出尺寸计算公式

当对一个 $n \times n$ 的输入图像，使用 $f \times f$ 的滤波器，padding 为 $p$，stride 为 $s$ 时，输出特征图的尺寸为：

\[\left\lfloor \frac{n + 2p - f}{s} + 1 \right\rfloor \times \left\lfloor \frac{n + 2p - f}{s} + 1 \right\rfloor\]

✅ 关键点：

• 若结果不是整数，向下取整（floor） 。
• 这是因为只有当滤波器完全落在（填充后的）输入区域内时，才进行一次有效卷积运算。
• 向下取整确保了不会对部分超出边界的区域进行计算。

3. 示例验证

• 输入：$7 \times 7$
• 滤波器：$3 \times 3$
• Padding：$p = 0$
• Stride：$s = 2$

代入公式：

\[\left\lfloor \frac{7 + 2 \cdot 0 - 3}{2} + 1 \right\rfloor = \left\lfloor \frac{4}{2} + 1 \right\rfloor = \left\lfloor 2 + 1 \right\rfloor = 3\]

→ 输出尺寸为 $3 \times 3$，与课程示例一致。

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三、边界情况处理

• 如果 $\frac{n + 2p - f}{s} + 1$ 不是整数，则丢弃无法完整覆盖滤波器的边缘区域。
• 这是深度学习框架（如 TensorFlow、PyTorch）中的默认行为（除非特别指定“same” padding 等策略）。

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四、关于“卷积” vs “互相关”的技术说明

领域	操作	是否翻转滤波器
数学 / 信号处理	卷积（Convolution）	✅ 是（先水平+垂直翻转）
深度学习	通常称为“卷积”	❌ 否（实际是互相关）

• 为什么深度学习不用翻转？

  • 翻转对特征提取无实质帮助；
  • 学习过程中滤波器权重是可训练的，无论是否翻转，网络都能学到等效的模式；
  • 省略翻转可简化实现，提升效率。

📌 结论：在 CNN 中，“卷积” = 互相关（无翻转） ，这是行业标准约定。

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五、关键公式汇总（KaTeX 兼容）

1. 输出尺寸公式（方形输入） ：

   \[n_{\text{out}} = \left\lfloor \frac{n + 2p - f}{s} + 1 \right\rfloor\]

2. 通用形式（矩形输入 $n_H \times n_W$ ） ：

   \[H_{\text{out}} = \left\lfloor \frac{n_H + 2p - f}{s} + 1 \right\rfloor, \quad W_{\text{out}} = \left\lfloor \frac{n_W + 2p - f}{s} + 1 \right\rfloor\]

3. 向下取整符号：

   \[\lfloor x \rfloor = \text{floor}(x)\]

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六、学习建议

• 动手验证：尝试不同 $n, f, p, s$ 组合，手动计算输出尺寸，加深理解。
• 编程实践：在 PyTorch 或 TensorFlow 中使用 Conv2d 层，调整 stride 和 padding 参数，观察输出形状变化。
• 注意维度匹配：在构建深层网络时，合理设计 stride 和 padding 可控制特征图分辨率，影响模型感受与计算量。

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七、预告（课程下一部分）

下一节将讲解 对立体（volume）进行卷积，即处理 多通道输入（如 RGB 图像） 和 多滤波器输出，这是构建真实 CNN 的核心。

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✅ 总结一句话：

带步长的卷积通过控制滑动步幅 $s$ 来调节输出分辨率，其尺寸由公式 $\left\lfloor \frac{n + 2p - f}{s} + 1 \right\rfloor$ 决定；深度学习中的“卷积”实为互相关，无需翻转滤波器。