04 卷积操作中的 Padding（填充）

04 卷积操作中的 Padding（填充）

一、问题背景：无填充卷积的两个主要缺点

当我们对一个图像进行卷积操作时，若不使用填充（即“Valid 卷积”），会出现以下问题：

1. 输出尺寸逐层缩小

• 假设输入图像尺寸为 $n \times n$，卷积核（过滤器）尺寸为 $f \times f$，步长为 1。

• 则输出尺寸为：

  \[(n - f + 1) \times (n - f + 1)\]
• 例如：$6 \times 6$ 图像 + $3 \times 3$ 卷积核 → 输出为 $4 \times 4$。
• 在深度网络中，多次卷积会导致图像迅速缩小，甚至退化为 $1 \times 1$，丢失大量空间信息。

2. 边缘像素信息利用不足

• 图像角落或边缘的像素只被少数卷积窗口覆盖（如左上角像素仅参与一次卷积）。
• 而中心区域的像素被多个卷积窗口重复使用。
• 导致边缘信息在特征提取中贡献较小，造成信息浪费。

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二、解决方案：引入 Padding（填充）

为解决上述问题，可以在输入图像四周添加额外的像素层，称为 padding。

• 设填充层数为 $p$，则填充后的图像尺寸变为：

  \[(n + 2p) \times (n + 2p)\]

• 此时卷积输出尺寸为：

  \[(n + 2p - f + 1) \times (n + 2p - f + 1)\]

💡 通常使用 0 填充（zero-padding） ，即在边界补 0。

✅ 示例：

• 原图：$6 \times 6$，卷积核：$3 \times 3$
• 若 $p = 1$，则填充后为 $8 \times 8$
• 输出尺寸：$8 - 3 + 1 = 6$ → 得到 $6 \times 6$ 输出，与输入同尺寸！

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三、两种常用 Padding 策略

1. Valid 卷积（无填充）

• 定义：$p = 0$

• 输出尺寸：

  \[n_{\text{out}} = n - f + 1\]
• 特点：输出比输入小，不保留边缘信息。

2. Same 卷积（保持尺寸不变）

• 目标：使输出尺寸等于输入尺寸，即 $n_{\text{out}} = n$

• 由公式：

  \[n + 2p - f + 1 = n\]

  解得所需填充量：

  \[p = \frac{f - 1}{2}\]
• 要求：$f$ 必须为奇数，才能使 $p$ 为整数。

✅ 常见情况：

• $f = 3$ → $p = 1$
• $f = 5$ → $p = 2$
• $f = 7$ → $p = 3$

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四、为什么卷积核尺寸 $f$ 通常是奇数？

在计算机视觉中，几乎总是使用奇数尺寸的卷积核（如 $3 \times 3$、$5 \times 5$），原因如下：

1. 对称填充

• 奇数 $f$ 可以实现四周等量填充（如上下左右各填 $p$ 个像素）。
• 若 $f$ 为偶数，则无法对称填充，可能导致空间偏移或实现复杂。

2. 存在中心像素

• 奇数尺寸的卷积核有明确的中心点（如 $3 \times 3$ 的中心是第 2 行第 2 列）。
• 这在定义卷积操作的位置、设计感受、或结合其他操作（如空洞卷积、注意力机制）时非常方便。

⚠️ 虽然偶数卷积核理论上可行，但不符合主流实践，一般不推荐使用。

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五、关键公式汇总（KaTeX 兼容）

概念	公式
无填充输出尺寸	$n_{\text{out}} = n - f + 1$
有填充输出尺寸	$n_{\text{out}} = n + 2p - f + 1$
Same 卷积所需填充	$p = \dfrac{f - 1}{2}$
Same 卷积成立条件	$f$ 为奇数

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六、总结要点

✅ Padding 的核心作用：

• 防止图像在深层网络中过度缩小；
• 提升边缘像素的利用率，保留完整空间信息。

✅ Same 卷积是构建深度 CNN 的标准做法，确保每层特征图尺寸可控。

✅ 始终优先使用奇数尺寸卷积核（如 3、5、7），以支持对称填充和中心定位。

✅ Padding 是卷积神经网络设计中的基础技巧，与 stride（步长）、dilation（膨胀）等共同构成卷积操作的核心参数。