dL／dz 的推导

🎯 目标

　　推导在二分类逻辑回归（使用 sigmoid 激活函数 + 交叉熵损失）中，损失函数 $L$ 对线性输出 $z$ 的导数：

$$
\frac{dL}{dz} = a - y
$$

　　其中：

• $a = \sigma(z)$ 是 sigmoid 激活输出，
• $y \in {0,1}$ 是真实标签，
• $L = -\big[y \log(a) + (1 - y)\log(1 - a)\big]$ 是二元交叉熵损失。

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🔗 推导步骤（使用链式法则）

　　根据链式法则：

$$
\frac{dL}{dz} = \frac{dL}{da} \cdot \frac{da}{dz}
$$

第一步：计算 $\frac{dL}{da}$

　　损失函数：

$$
L = -\big( y \log a + (1 - y) \log(1 - a) \big)
$$

　　对 $a$ 求导：

$$
\frac{dL}{da} = -\left( \frac{y}{a} - \frac{1 - y}{1 - a} \right) = \frac{-y}{a} + \frac{1 - y}{1 - a}
$$

　　通分后化简：

$$
\frac{dL}{da} = \frac{a - y}{a(1 - a)}
$$

第二步：计算 $\frac{da}{dz}$

　　因为 $a = \sigma(z)$，而 sigmoid 函数的导数为：

$$
\frac{d}{dz} \sigma(z) = \sigma(z)(1 - \sigma(z)) = a(1 - a)
$$

　　所以：

$$
\frac{da}{dz} = a(1 - a)
$$

第三步：相乘得到 $\frac{dL}{dz}$

$$
\frac{dL}{dz} = \frac{a - y}{a(1 - a)} \cdot a(1 - a) = a - y
$$

　　✅ 最终结果：

$$
\boxed{\frac{dL}{dz} = a - y}
$$

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💡 补充说明

• 在 Andrew Ng 的课程中，常将 $\frac{dL}{dz}$ 简记为 ​dz​​，因此你会看到代码或笔记中写成 dz = a - y。
• 这个简洁的结果是 sigmoid + 交叉熵损失 组合的一个重要优点——梯度形式简单，训练更稳定。