09 导数（Derivatives）的直观理解与实例

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一、导数的本质：函数在某一点的“斜率”

  • 导数（Derivative）描述的是函数在某一点处的瞬时变化率，也就是该点处切线的斜率。

  • 对于函数 $f(a)$，其在点 $a$ 处的导数记作：

    $$
    \frac{d}{da} f(a)
    $$

    或简写为 $f’(a)$。

✅ 关键理解：导数不是固定值（除非函数是直线），它会随着输入 $a$ 的不同而变化。

二、经典例子 1：$f(a) = a^2$

1. 在 $a = 2$ 处

  • $f(2) = 2^2 = 4$

  • 微小扰动：$a = 2.001 \Rightarrow f(2.001) \approx 4.004001 \approx 4.004$

  • 变化量：

    • $\Delta a = 0.001$
    • $\Delta f \approx 0.004$

  • 斜率（导数）近似为：

    $$
    \frac{\Delta f}{\Delta a} \approx \frac{0.004}{0.001} = 4
    $$

2. 在 $a = 5$ 处

  • $f(5) = 25$

  • $f(5.001) \approx 25.010005 \approx 25.010$

  • $\Delta f \approx 0.010$，所以：

    $$
    \frac{\Delta f}{\Delta a} \approx \frac{0.010}{0.001} = 10
    $$

3. 通用导数公式（来自微积分）：

$$
\frac{d}{da}(a^2) = 2a
$$

  • 验证：

    • 当 $a = 2$，导数 = $2 \times 2 = 4$
    • 当 $a = 5$，导数 = $2 \times 5 = 10$

🔍 注意：使用 $\Delta a = 0.001$ 是近似，真正的导数定义基于无穷小（infinitesimal）变化。因此实际值（如 4.004001）与线性近似（4.004）之间存在微小误差。

三、经典例子 2：$f(a) = a^3$

  • 微积分公式：

    $$
    \frac{d}{da}(a^3) = 3a^2
    $$

  • 举例：$a = 2$

    • $f(2) = 8$
    • $f(2.001) = (2.001)^3 \approx 8.012018 \approx 8.012$
    • $\Delta f \approx 0.012$，$\Delta a = 0.001$
    • 斜率 ≈ $0.012 / 0.001 = 12$

  • 公式验证：

    $$
    3a^2 = 3 \times 2^2 = 3 \times 4 = 12 \quad \checkmark
    $$

四、经典例子 3：$f(a) = \log(a)$（自然对数，底数为 $e$）

  • 微积分公式：

    $$
    \frac{d}{da} \log(a) = \frac{1}{a}
    $$

  • 举例：$a = 2$

    • $f(2) = \log(2) \approx 0.69315$
    • $f(2.001) \approx 0.69365$
    • $\Delta f \approx 0.0005$
    • 预期变化：$\frac{1}{a} \cdot \Delta a = \frac{1}{2} \times 0.001 = 0.0005 \quad \checkmark$

💡 这说明：当 $a = 2$ 时，函数增长速度只有输入变化的一半。

五、两个核心结论（Take-home Messages）

✅ 结论 1：导数就是函数在某点的斜率

  • 对于线性函数（如 $f(a) = 3a$），导数处处相同（恒为 3）。
  • 对于非线性函数（如 $a^2, a^3, \log a$），导数随 $a$ 变化而变化。

✅ 结论 2：常用导数公式可查表获得

  • 不必每次都从定义推导，可直接使用微积分中的标准公式：

    $$
    \begin{aligned}
    \frac{d}{da}(a^n) &= n a^{n-1} \
    \frac{d}{da}(\log a) &= \frac{1}{a} \
    \frac{d}{da}(e^a) &= e^a \
    \frac{d}{da}(\sin a) &= \cos a \quad \text{（虽未提及，但属常见）}
    \end{aligned}
    $$

六、后续预告：计算图（Computation Graph）

  • 下一节将引入计算图（Computation Graph）的概念。
  • 用于高效计算复杂函数（如神经网络中的损失函数）的导数。
  • 为反向传播（Backpropagation）打下基础。

📌 总结表格：常见函数及其导数

函数 $f(a)$ 导数 $f’(a) = \frac{d}{da}f(a)$
$a^2$ $2a$
$a^3$ $3a^2$
$\log a$ $\dfrac{1}{a}$
$c \cdot a$（$c$ 为常数） $c$

　　希望这份总结能帮助你牢固掌握导数的直观意义与计算方法，为后续学习神经网络的梯度下降和反向传播做好准备！