齐次坐标到底是什么

齐次坐标

齐次坐标可以用来区分 (X,Y) 到底是个向量还是个坐标，它不是一个新的坐标系，不是说把二维的变成三维的，它是一种记法。

（x,y,0) 表示一个向量， (x,y,1)表示一个坐标。

点+点=点，点加向量=点，向量+向量=向量，点-点=向量。

引入齐次坐标是为了在发生变换时，其几何意义依然准确。

一个向量平移之后，其结果仍然是这个向量，而一个点平移之后，其值就会发生变化但仍然是一个点。

对于平移来说：

$$
\left(\begin{array}{cccc}
1 & 0 & 0 & t_{x} \\
0 & 1 & 0 & t_{y} \\
0 & 0 & 1 & t_{z} \\
0 & 0 & 0 & 1
\end{array}\right) \cdot\left(\begin{array}{c}
x_{0} \\
y_{0} \\
z_{0} \\
w_{0}
\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}
x_{0}+w_{0} * t_{x} \\
y_{0}+w_{0} * t_{y} \\
z_{0}+w_{0} * t_{z} \\
w_{0}
\end{array}\right)
$$

如果$w_{0}$是0，那这个结果就是$\left(x_{0}, y_{0}, z_{0}\right)$，与向量的定义相符。

如果$w_{0}$是1，结果仍是一个点，与点的定义相符。

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对于平移、旋转、缩放这3个最常见的仿射变换，平移变换只对点有意义，因为向量没有位置概念。

而旋转和缩放对于向量和点都有意义。

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