第四章：三维变换
补充知识：
旋转矩阵的逆等于它的转置，如果一个矩阵的逆等于它的转置，数学上称为正交矩阵
本章知识：
3D 变换
viewing（观测）变换
View（视图）/Camera transformation
Projection（投影） tranformation
- Orthographic（正交）projection
- Perspective（透视）projection
三维变换
绕坐标轴旋转
x 和 z 的旋转矩阵和 y 的旋转矩阵是互逆的。
循环对称：x 叉乘 y 得到 z，y 叉乘 z 得到 x，但是得到 y 是要 z 叉乘 x 而不是 x 叉乘 z。
一般旋转
用简单的旋转组合形成复杂的旋转
绕任意轴的旋转都可以转换为绕 x、y、z 轴的旋转
罗德里格斯旋转公式（Rodrigues‘ Rotation Formula）
其中 n 是任意旋转轴（可以不经过原点），α 是旋转角
绕任意轴旋转：先平移，让旋转轴位于原点，再旋转，再平移回来。
四元数：解决插值问题。比如二维旋转 20 度的矩阵和旋转 30 度的矩阵相加后除以 2，不等于旋转 25 度的旋转矩阵，需要用到四元数做旋转和旋转间的插值。
Viewing Transform
什么是视图变换
拍照片（MVP 变换）
- 找一个好的位置放置模型（model transformation）
- 找一个好的角度（view tansformation）
- 茄子！（projection transformation）
模型视图变换（Model viewing transformation）
放在哪，往哪看，相机的向上方向（相机怎么摆）
约定俗成：相机放到（0，0，0）位置，向上摆放，沿着-Z 方向看
直接旋转角度到坐标轴不好处理，但把坐标轴旋转到某个方向比较容易，所以可以先旋转坐标轴，得到旋转矩阵，再求它的逆。
正交矩阵的逆就是它的转置。
先把中心移动到原点再做旋转的到的变换就是视图变换。相机通过这种变换变换到一个固定位置，其他物体也做一样的变换，保持和相机的相对位置不变。
总结：
任何时候相机和物体做一样的变换
只要相机能移动到规定的位置，那其他物体也会落到需要的位置上
所以模型视图经常一起变换，被称为模型视图变换。
投影变换（Projection TransFormation）
正交投影不会近大远小（鸽子为什么那么大）
透视投影就是把相机放在空间的一个点，往一个方向连出一个四棱锥，把这个四棱锥某一个深度到另一个深度之间的区域（frustum）都显示出来，显示到近处的平面上
正交投影假设相机离得无限远，这个时候近和远基本是一样的大小
正交投影
简单做法：
相机移到原点，把 z 轴扔掉（怎么区分物体前后后面再说），所有东西都在(x,y)上，然后把范围约束到[-1，1]² 这样的一个矩形里（约定俗成），得到正交投影的结果。
正式的做法：
定义一个立方体，映射到一个正则（规范、标准）立方体上。先做平移，再做缩放。
这里用的是右手系，z 方向向外，面离我们更远则 z 值更小，离我们更近则 z 值越大，所以 f 小于 n。所以有一些图形学的 API（比如 OpenGL 从透视空间到裁剪空间，webgl 也是类似）会用左手系，让 z 方向朝里。
透视投影近大远小
平行线不再平行
先把锥体向内挤压成一个立方体，约定近面和远面的 z 轴不变，远面中心点不变，近面大小不变（从透视到正交）。
再做正交投影
找到远面的 y 和近面的 y’之间的比例关系
齐次坐标里，点矩阵乘一个数字和以前表示的含义一样
近平面的所有点不改变，可以计算出转换矩阵的前两个数字
远平面中心点不变，结合前面近平面的特征，可以计算出剩下两个数字
最终得到透视到正交的转换矩阵
思考：
在近平面和远平面之间的中心点被挤压时，会被推向近平面还是远平面？
对原矩阵做转换后，得到的结果的第四行的值为(0 0 1 0) 和 (x y z 1)相乘后得到：z；
计算 z 转换后的值为（f<z<n）值：z(n+f)-nf，需要除以 z 把最后一位变为 1 后再和原来的 z 比较
求解：(z(n+f) - nf)/z 和 z 的关系，转换为抛物线求解，y = z(n+f)- nf - z² , z 在 n 和 f 之间变化时，有两个解 n 和 f，且抛物线开口向下，即当 z 位于 n 和 f 之间时，其变换后的 z 的绝对值始终大于原来的 z 的绝对值。